1.1.1 Функция состояния системы, уравнение Шредингера. Туннельный эффект
Представление о туннелировании частиц возникло почти одновременно с квантовой механикой. В классической механике для описания в какой-то момент времени системы материальных точек достаточно задать значение координат и компонент импульса каждой из материальных точек. В квантовой механике даже для одной частицы одновременное определение координат и соответствующей ей компоненты импульса принципиально невозможно из-за соотношения Гейзенберга. Наиболее полное описание системы в квантовой механике дается комплексной функцией состояния системы (волновой функцией). Функция состояния
, зависящая от времени и координат всех частиц системы, является решением волнового уравнения Шредингера. Физический смысл функции состояния системы определяется не самой
,
а
. Вероятность нахождения частиц в элементарном объеме dxdydz есть не что иное, как
.
При рассмотрении падения частиц на потенциальный барьер конечной ширины квантовая механика предсказывает неизвестный в классической физике эффект – прохождение частиц сквозь потенциальный барьер, даже если полная энергия частицы меньше высоты этого барьера.
Вычислим прозрачность потенциального барьера прямоугольной формы [1, 2]. Рассмотрим падение пучка электронов на потенциальный барьер прямоугольной формы, при котором потенциальная энергия частиц
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_tunnel_microscopy_stm/stm_physical_backgrounds/tunneling_effect/img03.gif)
(1)
а полная энергия E меньше чем U0 (рис. 1).
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_tunnel_microscopy_stm/stm_physical_backgrounds/tunneling_effect/img04.gif)
Рис. 1. Прямоугольный потенциальный барьер и волновая функция частицы
.
Стационарные уравнения Шредингера имеют вид:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_tunnel_microscopy_stm/stm_physical_backgrounds/tunneling_effect/img05.gif)
(2)
где
,
– волновые вектора,
– постоянная Планка. Решение волнового уравнения при
ищем в виде суммы падающей и отражённой волны
, а решение при
– в виде прошедшей волны
. Решение в области потенциального барьера
есть
. Постоянные коэффициенты a, b, c, d определяются из условия непрерывности волновой функции
и
в точках
и
.
В качестве коэффициента прозрачности барьера D естественно взять отношение плотности потока вероятности прошедших частиц к плотности потока вероятности частиц, падающих на барьер. В рассматриваемом случае, это отношение будет просто равно квадрату модуля волновой функции, оказавшейся за барьером, так как амплитуда падающей волны принята за единицу, а волновые вектора падающей и прошедшей волны совпадают
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_tunnel_microscopy_stm/stm_physical_backgrounds/tunneling_effect/img19.gif)
(3)
если
, то как
так и
можно приблизительно заменить на
и тогда выражение (3) примет вид
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_tunnel_microscopy_stm/stm_physical_backgrounds/tunneling_effect/img24.gif)
(4)
где
Таким образом, аналитическое вычисление коэффициента прохождения через потенциальный барьер прямоугольной формы является достаточно простой задачей. Однако, во многих квантово-механических задачах, необходимо вычислить коэффициент прохождения через барьер более сложной формы. В этом случае, общего аналитического решения вычисления коэффициента D не существует. Тем не менее, если параметры задачи удовлетворяют условиям квазиклассичности, то коэффициент прохождения через барьер может быть вычислен в общем виде (см. пункт 1.1.2).
Выводы.
- В квантовой механике под туннельным эффектом подразумевается прохождение частиц сквозь потенциальный барьер, когда полная энергия частиц меньше высоты этого барьера.
- Чтобы вычислить коэффициент прозрачности необходимо решить уравнения Шредингера системы с учётом условий сшивки волновой функции на границах барьера.
- Коэффициент прозрачности прямоугольного барьера в случае, когда волновые векторы падающей и прошедшей волны совпадают экспоненциально убывает с увеличением ширины барьера.
Литература.
- Д.В. Сивухин. Курс общей физики // М.: Наука, т.5, ч.1 1988.
- Л.Л. Гольдин., Г.И. Новикова. Введение в квантовую физику // М.: Наука 1988.