2.1.4 Отклонение под действием поперечной силы

Определим величину и направление деформации под действием поперечной силы . Решение этой задачи позволит найти средний столбец тензора (см. формулу (2) пункта 2.1.1).

(1)

(2)

(3)

Под действием поперечной силы возникает сложная деформация, которая является суперпозицией плоского изгиба и кручения (рис. 1a и 1b).

Рис. 1а. Плоский изгиб.

Рис. 1б. Кручение.

Обратную жесткость плоского изгиба (рис.1a) найти просто. Данная деформация аналогична вертикальному изгибу z-типа (см. рис. 1 пункта 2.1.2) с той лишь разницей, что в окончательном выражении для обратной жесткости (см. (12) пункта 2.1.2) надо поменять местами ширину и толщину балки кантилевера ( ). Таким образом,

(4)

Решение же задачи кручения балки прямоугольного сечения является непростым. Зависимость угла кручения от прилагаемого к торцу балки момента силы приведем без вывода [1]:

(5)

где – модуль сдвига.

Боковая сила действует на конец зонда длиной тогда закручивающий момент равен . . В свою очередь боковое смещение острия связано с углом кручения как . Соответственно, обратный коэффициент жесткости:

(6)

Зная, что , а коэффициент Пуассона (для большинства материалов), с учетом выражения для (см. (12) пункта 2.1.2), запишем:

(7)

Чтобы найти результирующий сдвиг острия зонда при суперпозиции плоского изгиба и кручения при малых деформациях достаточно сложить соответствующие отклонения:

(8)

Таким образом, результирующая обратная жесткость также будет являться суммой обратных жесткостей плоского изгиба и кручения:

(9)

Обратим внимание на то, что для большинства кантилеверов обратная жесткость плоского изгиба (4) оказывается много больше обратной жесткости кручения (6) поэтому обычно плоским изгибом можно пренебречь. Для стандартного АСМ-кантилевера CSC12 с параметрами: , , , и жесткостью , латеральные константы жесткости равны:

(10)

Несложно заметить, что как при плоском изгибе, так и при кручении кроме отклонения возникают деформации и , соответственно. Однако величина этих смещений следующего порядка малости по сравнению с а связь отклонения с приложенной силой становится не линейной, а квадратичной, т.е. "негуковской". Покажем это, например, для кручения.

Рис. 2. К вычислению .

Из рис. 2, видно, что

(11)

в то время как

(12)

Так как , то и . Аналогично при плоском изгибе . Поэтому можно положить

(13)

Наконец, запишем компоненты первой колонки матрицы (3) пункта 2.1.1. Под действием поперечной силы , нормаль к верхней поверхности кантилевера наклоняется в плоскости , поэтому из (11–13) можно вывести

(14)

Соответственно, отклонение в направлении отсутствует и

(15)

Заметим, что отличный от нуля угол создает только крутильная деформация. При плоском изгибе поверхность кантилевера остается горизонтальной. Таким образом, плоский изгиб никак не может быть зарегистрирован, его величину можно только вычислить по формулам. Однако для определения поперечной силы в эксперименте вполне достаточно регистрировать только деформацию кручения.

Выводы.

Поперечная сила приводит к сложной деформации, являющейся суперпозицией плоского изгиба и кручения балки кантилевера. Плоский изгиб аналогичен изгибу z-типа. Решение более сложной задачи о деформации кручения балки прямоугольного сечения дается в литературе [1].
Поперечная сила приводит в первом порядке малости (закон Гука) только к поперечному отклонению острия кантилевера.
Оптическая система регистрирует только деформацию кручения . Плоский изгиб не может быть измерен непосредственно.

Литература.

Феодосьев В.И. Сопротивление материалов, М.: Изд-во МГТУ, 2000 - 392 с.