2.1.5 Тензор обратной жесткости кантилевера

Сведем полученные компоненты тензора обратной жесткости (см. формулу (2) пункта 2.1.1) в единую матрицу, позволяющую сориентироваться в вычислениях:

(1)

Коэффициент обратной жесткости является наибольшим среди остальных компонент тензора . В формуле (11) пункта 2.1.2 для этого параметра введено специальное обозначение - без индексов. Именно величина указывается в качестве жесткости в характеристиках кантилевера, являясь одним из его важнейших параметров. Ниже для наглядности будем выделять в качестве общего множителя всех элементов тензора обратной жесткости [1]:

(2)

Тензор симметричный. Так и должно быть. Левая часть выражения (1) пункта 2.1.1 – является полярным вектором, такими же трансформационными свойствами должна обладать и правая часть формулы. Сила полярный вектор, поэтому тензор должен быть симметричным, чтобы выражение (2) пункта 2.1.1 правильно преобразовывалось при отражениях системы координат.

Наличие недиагональных элементов приводит к различию в направлении приложенной силы и вектора отклонения острия, а также говорит об ограниченной применимости упрощенной модели упругого кантилевера на основе трех перпендикулярных пружин. Чтобы воспользоваться данной моделью, необходимо определить не только жесткости, но правильные направления трех пружин, которые не будут совпадать с осями координат. Эта задача сводится к диагонализации тензора (2) для нахождения его собственных значений, а также направлений осей преобразованной системы координат, по которым и должны быть сориентированы модельные пружины.

Видно, что упругие свойства кантилевера полностью описываются пятью параметрами. Найти все компоненты тензора можно, зная геометрические характеристики кантилевера, а также его константу жесткости.

Запишем полученные компоненты матрицы в формуле (3) пункта 2.1.1 для облегчения расчетов при экспериментах:

(3)

Выводы.

Компонента тензора обратной жесткости c_zz , соответствующая вертикальному смещению при изгибе z-типа является наибольшей. Обратное ей значение есть константа жесткости балки, которая указывается в характеристиках кантилевера.
Тензорный характер упругих свойств кантилевера приводит к ограниченной применимости упрощенных моделей на основе пружинок.
Для того чтобы моделировать упругие свойства кантилевера тремя пружинками, необходимо правильно определить их параметры, диагонализовав тензор обратной жесткости.

Литература.

Handbook of Micro/Nanotribology / Ed. by Bhushan Bharat. - 2d ed. - Boca Raton etc.: CRC press, 1999. – 859 c.