2.2.2.3 Точная постановка задачи Герца и ее решение в общем виде
Пусть два твердых тела соприкасаются друг с другом в точке (рис. 1). Необходимо принять следующие упрощающие предположения [1]:
- Тела заполнены однородными изотропными линейно упругими средами, характеризующимися модулями Юнга
,
и коэффициентами Пуассона
,
.
- Кривизна поверхностей мало влияет на напряженно-деформированное состояние.
- Граничные поверхности заменяются эллиптическими параболоидами.
- Точка контакта – не особая, область контакта односвязная и ее граница – эллипс.
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img05.gif)
Рис. 1. Соприкосновение двух тел до деформации.
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img06.gif)
Рис. 2. Пунктиром изображены поверхности до деформации, а сплошной линией – поверхности сдавленных тел. Буквы
и
обозначают длины, определяемые равенствами (1) и (2).
Уравнение поверхности вблизи точки касания:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img09.gif)
(1)
где по дважды повторяющимся индексам
,
– суммирование. Тензор
характеризует кривизну поверхности, его главные значения –
и
(здесь
,
– главные радиусы кривизны контактирующих поверхностей в точке O).
Аналогично для второго тела:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img17.gif)
(2)
Предположим, что тела сдавливаются некоторой силой
, в результате чего они деформируются и сближаются на некоторое малое расстояние
(рис. 2). Теперь областью соприкосновения будет не точка, а участок поверхности площадью
(
для эллипса). Пусть
и
компоненты (соответственно по осям
и
векторов смещения точек поверхностей обоих тел при сдавливании (рис. 2).
Из рисунка видно, что в точках области соприкосновения имеет место равенство:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img24.gif)
(3)
или
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img25.gif)
(4)
В точках, где поверхности не соприкасаются, выполняется
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img26.gif)
(5)
Выберем направления осей
и
таким образом, чтобы тензор
был приведен к главным осям. Обозначая через
и
главные значения этого тензора, перепишем (4):
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img32.gif)
(6)
Величины
и
связаны с радиусами кривизны
,
и
,
обеих поверхностей следующими формулами, которые приведем без вывода:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img35.gif)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img36.gif)
(7)
где
– угол между теми нормальными сечениями поверхностей, в которых радиусы кривизны –
и
. Знаки радиусов кривизны положительны, если соответствующие центры кривизны расположены внутри соответствующего тела, и отрицательны – в обратном случае.
Обозначим через
давление между сдавленными телами в точках их соприкосновения. Вне области соприкосновения, очевидно,
. Смещение
под влиянием нормальных сил
определяется выражением (поверхности считаем плоскими):
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img40.gif)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img41.gif)
(8)
Заметим, что из (8) следует, что отношение
постоянно и равно:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img43.gif)
(9)
Соотношения (7) и (9) непосредственно определяют распределение деформации
и
по области соприкосновения. Подставим выражения (8) в (7):
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img44.gif)
(10)
Это интегральное уравнение определяет распределение давления
по области соприкосновения. Решение его находится по аналогии с теорией потенциала.
Поэтому придется рассмотреть задачу из теории потенциала..
Пусть по объему трехосного эллипсоида
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img45.gif)
(11)
равномерно распределен заряд (с объёмной плотностью
). Тогда потенциал поля внутри эллипсоида определяется выражением:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img47.gif)
(12)
В предельном случае предельно уплощенного эллипсоида (в направлении оси
), когда
:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img49.gif)
(13)
(координаты
внутри эллипсоида полагаются равными нулю).
Потенциал можно записать и по-другому:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img50.gif)
(14)
где интегрирование производится по объёму эллипса. Теперь перейдем к пределу
, при этом положим под корнем
; производя интегрирование по
в пределах между
, получим:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img54.gif)
(15)
где интегрирование производится по площади внутри эллипса
Приравнивая оба выражения для
, получим:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img57.gif)
(16)
Сравним интегральное уравнение (16) с уравнением (10). Видим, что в их правых частях стоят квадратичные функции от
и
одинакового вида, а в левых – интегралы одинакового типа. Поэтому можно сразу сказать, что область соприкосновения тел (она же – область интегрирования в интеграле (10)) ограничена эллипсом вида:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img58.gif)
(17)
и что функция
должна быть вида:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img59.gif)
(18)
Выберем const таким образом, чтобы интеграл
по области соприкосновения был равен силе
с которой сдавливаются тела. Получим:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img61.gif)
(19)
Эта формула определяет закон распределения давления по площади области соприкосновения. Заметим, что давление в центре в полтора раза превышает среднее давление
.
Подставим (19) в (10) и заменим получающийся интеграл его выражением согласно (16):
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img63.gif)
(20)
где
– эффективный модуль Юнга:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img65.gif)
(21)
Приравняем коэффициенты при
и
и свободные члены с обеих сторон:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img68.gif)
(22)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img69.gif)
(23)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img70.gif)
(24)
Уравнения (22), (23) определяют полуоси
и
области соприкосновения при заданной силе
(
и
известные для данных тел величины). После этого с помощью соотношения (22) можно определить зависимость между силой
и вызываемым ею сближением тел
. Интегралы в правых частях уравнений эллиптические.
Применим полученные формулы к соприкосновению двух шаров с радиусами
и
. В этом случае:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img75.gif)
(25)
Из соображений симметрии ясно, что
, т.е. областью соприкосновения является круг. Из (23), (24) получим для радиуса области соприкосновения:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img77.gif)
(26)
В данном случае
– это разность между суммой
и расстоянием между центрами шаров. Из (18) получим соотношение между
и
:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img79.gif)
(27)
Итак,
, соответственно,
.
Зависимость вида
,
имеет место не только для шаров, но и для других тел конечных размеров. В этом легко убедиться из соображений подобия. Если провести замену
,
,
, где
– произвольная постоянная, то уравнения (23), (24) останутся неизменными. В уравнении же (22) правая часть умножится на
, и для того, чтобы оно оставалось неизменным, надо изменить
на
. Отсюда следует, что
должно быть пропорционально
.
Выводы.
- Задача Герца позволяет определить параметры деформации в "точке" соприкосновения двух тел.
- При постановке задачи Герца используется модель сплошной упругой однородной среды и предположение малости деформаций.
- В месте "точечного" соприкосновения зонда с поверхностью образца образуется контактная площадка.
- Решение задачи Герца позволяет определить величину прогиба в зависимости от приложенной нагрузки. Величина прогиба
пропорциональна степени
сдавливающей силы.
Литература.
- Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. – М.: Наука, 1987. – 246 с.