2.2.2.2 Решение задачи Герца

Решение такой задачи в общем виде известно (см. пункт 2.2.2.3) однако ответ записывается в неявной форме [1]. Чтобы получить общее представление о деформациях при упругом контакте и найти характерные числовые значения, ограничимся анализом взаимодействия сферических поверхностей – острия зонда и небольшого участка образца. Это означает, что , (рис. 1).

При воздействии нагрузки соприкасающиеся тела деформируются так, что вместо точки касания образуется некоторая контактная площадка (рис. 2). Из осевой симметрии задачи несложно понять, что эта площадка будет иметь форму круга. Его радиус обозначим .

Введем удобные в расчетах величины: , а также эффективный модуль Юнга для заданной пары материалов:

При малых деформациях (допущение 3 пункта 2.2.2.1) выполняется следующее геометрическое соотношение между глубиной проникновения и радиусом контактного круга :

которое можно понять из рисунка 2.

Решение задачи Герца дает соотношение между придавливающей силой и глубиной проникновения :

Соответственно, давление связано с силой следующим образом:

Приведенное решение для двух соприкасающихся сферических форм содержит важный частный случай: контакт плоского образца и зонда с радиусом кривизны
(, ).

Изобразим решение задачи Герца графически, отложив по горизонтали величину проникновения, а по вертикали прижимающую силу. График, разумеется, определен при положительных . На рис. 3 решению задачи Герца соответствует восходящая из начала координат ветвь.

Как уже отмечалось, в неявном виде можно получить решение для любых поверхностей (оговоренных в условии 2 пункта 2.2.2.1), однако для получения ответа необходимы численные расчеты. Тем не менее, результат по порядку величины будет такой же, что и в нашем крайне упрощенном случае. Поэтому приближенную оценку характерной величины давления в контакте можно провести на основе формулы (4).

Данные сведены в таблицу, в строках которой вписаны численные значения площади соприкосновения и давления в месте контакта при разных модулях Юнга (упругости) исследуемого материала. Данные приведены для кремниевого кантилевера – – с радиусом кривизны при двух значениях прижимающей силы и .

Модуль упругости образца, Pa	Радиус области контакта , nm		Сближение за счет деформации , nm		Давление в контакте , GPa
108	7.2	16	5.2	24	0.03	0.07
109	3.4	7.2	1.1	5.2	0.14	0.3
1010	1.6	3.4	0.25	1.1	0.63	1.4
1011	0.9	1.8	0.07	0.3	2.2	4.7
1012	0.7	1.4	0.04	0.2	3.7	7.9
при величине сближающей силы , nN
	5	50	5	50	5	50

Материал и его модуль упругости	Радиус области контакта , нм		Сближение за счет деформации , нм		Давление в контакте , ГПа
Стекло кварцевое,	3.74	8.04	1.04	6.46	0.11	0.25
Капрон,	3.24	6.98	1.05	4.87	0.15	0.33
Медь,	0.79	1.7	0.062	0.29	2.55	5.51
Вольфрам,	0.68	1.46	0.046	0.21	3.44	7.47
Алмаз,	0.64	1.38	0.041	0.19	3.88	8.36
при величине сближающей силы , нН
	5	50	5	50	5	50

Нетрудно заметить, что для более жестких образцов выше значение контактного давления.

Другое ограничение (условие 1 пункта 2.2.2.1) состоит в рассмотрении соприкасающихся тел в рамках модели сплошной среды с изотропными характеристиками. Понятно, что на микроуровне молекулярная структура уже играет существенную роль, поэтому подобное приближение довольно условно. В связи с этим решение задачи Герца с более точными геометрическими характеристиками соприкасающихся поверхностей (в отличие от рассмотренного случая) лишено смысла, так как условие 1 пункта 2.2.2.1 само по себе является весьма грубым приближением.

---

Выводы.

• В месте "точечного" соприкосновения зонда с поверхностью образца образуется контактная площадка.
• Решение задачи Герца позволяет найти радиус контактной площадки и величину прогиба в зависимости от приложенной нагрузки.
• Типичные значения в АСМ:
  1. радиус зоны контакта – до 10 nm;
  2. глубина проникновения – до 20 nm;
  3. контактное давление – до 10 GPa.

Литература.

1. Ландау Л.Д., Лившиц Е.М. Теория упругости. – М.: Наука, 1987. – 246 с.
2. Галлямов М.О., Яминский И.В. Сканирующая зондовая микроскопия: основные принципы, анализ искажающих эффектов (218 кб).