2.4.1 Качественное рассмотрение

Рассмотрим колебания кантилевера, когда на него кроме вынуждающей силы (см. (1) пункта 2.3.3), действует еще внешняя сила . Уравнение движения в этом случае запишется

(1)

В общем случае установившееся решение уравнения (1) представляет собой сумму гармоник с частотами кратными частоте вынуждающей силы :

(2)

В пункте 2.3.5 рассмотрен частный случай решения (1) – малые колебания, когда выполняется условие

(3)

где – собственная резонансная частота кантилевера, – среднее значение второй производной силы взаимодействия зонд-образец (усреднение ведется по амплитуде колебаний).

На практике же условие (3) выполняется далеко не всегда. Однако, пользуясь численными методами можно показать, что, даже потребовав более слабое условие (4) на амплитуду вынуждающей силы, характер установившихся колебаний будет слабо отличаться от гармонического (основной вклад дает только первая гармоника)

условие

(4)

решение

(5)

При этом наиболее важным отличием от случая малых колебаний, где установившийся режим определяется только параметрами системы, является зависимость решения от начальных условий Иными словами, в зависимости от начального расположения кантилевера относительно положения равновесия вид установившихся колебаний будет меняться (рис. 1).

Рис. 1. Возможность возникновения нескольких квазистационарных решений.

В свою очередь данная особенность приводит к искажению вида резонансных кривых (АЧХ и ФЧХ) колебаний. На рисунке 2 показаны амплитудно- и фазово-частотные характеристики системы в зависимости от амплитуды раскачивающей силы.

Рис. 2. Резонансные кривые в случае нелинейных колебаний.

Также искажаются и кривые подвода-отвода кантилевера (см. пункт 2.3.5), что может привести к невозможности восстановить вид производной и параметры силы взаимодействия зонд-образец. На рисунке 3 приведены кривые подвода кантилевера для различных амплитуд вынуждающей силы.

Рис. 3. Кривые подвода зонда к образцу для различных амплитуд вынуждающей силы.

Выводы.

Действие внешней силы в общем случае сильно искажает характер колебаний от периодического закона. Однако, потребовав условие (4) на амплитуду вынуждающей силы, характер установившихся колебаний будет слабо отличаться от гармонического (основной вклад дает только первая гармоника).
Наиболее важным отличием от случая малых колебаний, где установившийся режим определяется только параметрами системы, является зависимость решения от начальных условий.