2.3.3 Колебания при наличии внешней вынуждающей периодической силы
Идеальный случай.
Пусть на шарик в пружинном маятнике действует периодическая внешняя сила
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img01.gif)
(1)
В этом случае для смещения шарика вблизи положения равновесия вместо уравнения (1) пункта 2.3.1 получаем
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img02.gif)
(2)
где .
Нетрудно проверить, что решение уравнения (1) в случае
имеет вид [1-3]:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img05.gif)
(3)
где
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img06.gif)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img07.gif)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img09.gif)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img10.gif)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img08.gif)
Первое слагаемое в (3) описывает свободные колебания, а второе – так называемые вынужденные колебания с амплитудой
. Таким образом, амплитуда и начальная фаза колебаний при действии вынуждающей силы зависят не только от начальных условий, но и от параметров силы.
В предельном случае точного совпадения частот
и
система уже не может совершать периодические колебания. Зависимость координаты
от времени будет выражаться формулой
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img15.gif)
(4)
Такое движение можно рассматривать как колебания с линейно нарастающей со временем амплитудой. Явление раскачки колебаний под действием периодической внешней силы называется резонансом.
Следует подчеркнуть, что неограниченный резонансный рост амплитуды вынужденных колебаний есть идеализация системы. Во-первых, когда амплитуда колебаний становится достаточно большой, осциллятор, как правило, перестаёт быть линейным. Во-вторых, при записи уравнения (12) не учитывались силы трения, приводящие к затуханию колебаний. Рассмотрим роль последнего фактора более подробно.
Вынужденные колебания при наличии трения.
Если на осциллятор с трением действует внешняя сила (1), то уравнение таких колебаний имеет вид
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img16.gif)
(5)
где
– коэффициент затухания, определённый в пункте 2.3.2.
Общее решение (5) имеет вид [1–3]
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img18.gif)
(6)
где
– решение уравнения (5) в отсутствие внешней силы (собственные колебания осциллятора (3) – (5) пункта 2.3.2.
Благодаря трению
, собственные колебания затухают:
при
. Поэтому через время
колебательная система будет совершать только вынужденные колебания, описываемые вторым слагаемым в (6). Важно отметить, что параметры вынужденных колебаний не зависят от начальных условий. Эти колебания происходят с частотой внешней силы
, характеризуются амплитудой
и фазовым сдвигом
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img26.gif)
(7)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/cantilever-sample_force_interaction/elastic_interactions/exact_hertz_problem_definition_and_its_solution/img61.gif)
(8)
Как следствие из формулы (8), коэффициент
связан с производной функции
следующим образом:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img29.gif)
(9)
Важным отличием от случая вынужденных колебаний осциллятора без трения является наличие сдвига фазы
между колебаниями вынуждающей силы и колебаниями осциллятора. При точном совпадении частот,
, вне зависимости от величины затухания, сдвиг фазы составляет
.
Другим существенным следствием наличия затухания является качественное изменение вида резонансной кривой. На рис. 1 приведена зависимость
и
для некоторых характерных значений
.
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img34.gif)
Рис. 1а. Резонансные кривые (АЧХ) линейного осциллятора для различных значений коэффициента трения:
,
,
,
.
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img35.gif)
Рис. 1б. Зависимость сдвига фаз
(ФЧХ) между колебаниями вынуждающей силы и осциллятора.
Максимальное значение амплитуды вынужденных колебаний (7), определяется формулой
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img40.gif)
(10)
Этому максимуму соответствует резонансная частота
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img41.gif)
(11)
при условии, что
. Если затухание мало
(
) то максимум резонансной кривой приблизительно совпадает с собственной частотой осциллятора
. По мере роста
этот максимум смещается в сторону меньших частот (рис. 1а). При
максимум амплитуды вынужденных колебаний
приходится на частоту
. TПо существу это означает исчезновение резонанса. Ранее указывалось, что режим апериодического затухания свободных колебаний возникает лишь при
. Следовательно, в интервале
вынужденные колебания уже не имеют резонансного характера, а собственные движения осциллятора ещё сохраняют колебательный характер.
Как видно из формулы (7), при слабом затухании
амплитуда вынужденных колебаний быстро убывает по мере удаления от резонансной частоты. В частности, она уменьшается в
раза при значениях
, равных
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img50.gif)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img51.gif)
(12)
Величину
принято называть шириной резонанса. При малых
эта величина составляет
. Тогда добротность, определяемая формулой (8) пункта 2.3.2, связана с шириной резонансной кривой соотношением
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/force_oscillations/img54.gif)
(13)
Таким образом, ширина резонансной кривой определяется добротностью и собственной частотой. Чем больше добротность колебательной системы, тем меньше ширина резонансного пика. Как видно из формулы (13), добротность колебательной системы можно оценить из экспериментальных АЧХ осциллятора и соответственно определить коэффициент затухания.
Выводы.
- В случае действия на колебательную систему внешней вынуждающей силы, колебания системы описываются периодическим законом, причём амплитуда и начальная фаза колебаний зависят не только от начальных условий, но и от параметров силы (3).
- Если частоты
и
совпадают, то система совершает колебания с линейно нарастающей со временем амплитудой (4) – явление резонанса.
- В случае наличии трения и действия на колебательную систему внешней вынуждающей силы через время
колебательная система будет совершать только вынужденные колебания, описываемые вторым слагаемым в (6).
- Параметры установившихся вынужденных колебаний не зависят от начальных условий. Эти колебания происходят с частотой внешней силы
, характеризуются амплитудой (7) и фазовым сдвигом (8). При совпадении частот,
, вне зависимости от величины затухания, сдвиг фазы составляет
.
- Ширина резонансной кривой определяется добротностью и собственной частотой колебаний (13).
Литература.
- С.Э. Хайкин. Механика. – М.: ОГИЗ, 1947. – 574 с.
- Д. В. Сивухин. Механика. – М.: Наука, 1989. – 576. с.
- Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 496 с.