2.4.2 Анализ уравнения движения кантилевера (теория возмущений)

Рассмотрим один из методов решения уравнения движения кончика зонда в произвольном потенциале (см. (1) пункта 2.4.1). Будем считать, что зонд длиной расположен на конце кантилевера, как показано на рис. 1.

Если закрепленный конец балки кантилевера, благодаря вынуждающей силе, совершает колебания с амплитудой и частотой на некоторой высоте над поверхностью образца, т.е. , то уравнение движения кончика зонда будет иметь следующий вид:

где – эффективная масса кантилевера, – добротность, – жесткость кантилевера (см. (12) пункта 2.1.2), – собственная резонансная частота кантилевера, – потенциал взаимодействия зонд-образец, – расстояние между поверхностью образца и кончиком зонда.

Из условия можно определить положение равновесия зонда, которое, как легко видеть, является некоторой функцией от . Сделаем замену переменных и , тогда исходное уравнение движения преобразуется к виду:

где и . Вспоминая, что собственная резонансная частота кантилевера есть , преобразуем (2) к виду:

Вводя новые обозначения параметров, (3) легко привести к виду:

где

а – некоторый малый параметр ().

Решение уравнения (4) для случая, когда выполняется и , может быть получено с помощью метода Крылова-Боголюбова-Митропольского (КБМ) [1], который является одним из видов теории возмущений.

Если предположить, что решение (4) слабо отличается от гармонического осциллятора, т.е. имеет место , где и , то на функции и накладываются следующие условия (с точностью до членов первого порядка ):

где использована вспомогательная функция , которая определяется видом потенциала взаимодействия зонд-образец и записывается в виде:

Для определенного класса решений уравнения (4), движение кончика кантилевера будет представлять собой обычные устойчивые синусоидальные колебания с фиксированными величинами и . Эти фиксированные значения являются критическими точками системы уравнений (6), когда выполняется . Используя это условие, получим систему уравнений:

Исключая переменную из системы (8), получим следующую зависимость амплитуды колебаний от частоты, т.е. АЧХ системы:

Зависимость (9) не является явной и не может быть посчитана в общем виде. Однако, используя методы численного решения неявных уравнений, можно для конкретного вида потенциала взаимодействия зонд-образец посчитать АЧХ данной системы. В работе [2] данное вычисление было проведено в предположении, что потенциал является потенциалом Леннарда-Джонса, т.е. записывается в виде:

Характерные АЧХ системы в зависимости от расстояния зонд-образец показаны на рис. 2а. Для сравнения на рис. 2б приведены те же зависимости, но уже полученные методами численного решения дифференциального уравнения движения кончика зонда (1).

Как видно из рисунка с удалением от поверхности образца (когда потенциал взаимодействия резко ослабляется), кривые АЧХ все более приближаются к АЧХ обычного гармонического осциллятора. Когда же мы довольно сильно приближаемся к образцу , то резонансные характеристики резко искажаются. При этом возможны ситуации, когда одной частоте раскачки кантилевера будут соответствовать несколько устойчивых амплитуд колебаний, которые в свою очередь будут определяться начальными условиями.

Для того, чтобы найти ФЧХ системы заметим, что из (8) для выполняется:

Данное выражение однозначно связывает фазу колебаний с амплитудой. Таким образом, рассчитав АЧХ системы, с помощью (11) легко получить и ФЧХ.

---

Выводы.

• Приведен метод теоретического анализа уравнения движения кантилевера вблизи поверхности образца при произвольной амплитуде вынуждающей силы.
• Показано, что в случае, когда условие малости колебаний не выполняется (сила резко изменяется на амплитуде колебаний), возможно одновременное существование нескольких устойчивых решений. При этом выбор конкретного типа колебания, отвечающего данной частоте вынуждающей силы, зависит от начальных условий.
• Приведены выражения для расчета резонасных характеристик системы зонд-образец (9, 11) при некотором потенциале взаимодействия .

Литература.

1. N. Bogolyubov and Y.A. Mitropolsky, Asymptotic Methods in the Theory of Nonlinear Oscillations. Gordan and Breach, New York, 1961.
2. N. Sasaki and M. Tsukada, Appl.Surf.Sci. 140 (1999) 339-343.