Приложения
Приложение 1. Вычисление силы и градиента силы действующей на цилиндрический
ферромагнитный зонд в магнитном поле проводника.
Найдём силу и производную силы, действующую на цилиндрический ферромагнитный зонд радиуса
, длиной
и намагниченностью
находящегося в магнитном поле проводника. Причём, вектор намагниченности
направлен под углом
к нормали основания цилиндра по всему объёму (рис. 1).
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img35.gif)
Рис. 1. Схематическое изображение цилиндрического зонда.
Вектор
имеет координаты
.
Согласно пункту 2.7.3 силу
, действующую на магнитный кантилевер, и её производную
, можно вычислить, проинтегрировав по всему объёму ферромагнитного материала силу, действующую на элементарный объём. Для данной геометрии магнитного зонда и при условии, что магнитное поле вдоль оси Y равно нулю, сила и производная вдоль оси Z, в соответствии с формулами (1, 2) пункта 2.7.3 определяются через функцию
следующим образом
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img09.gif)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img10.gif)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img11.gif)
(1)
где аналитические зависимости производных магнитного поля
определяются формулами (9,10) пункта 2.7.9.
Приложение 2. Вычисление силы и градиента силы действующей на сферический
ферромагнитный зонд в магнитном поле проводника.
Найдём силу и производную силы, действующую на сферический ферромагнитный зонд радиуса
, и намагниченностью
находящегося в магнитном поле проводника. Причём, вектор намагниченности
направлен под углом
к оси Z по всему объёму (рис. 2).
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img36.gif)
Рис. 2. Схематическое изображение сферического зонда.
Вектор
имеет координаты
.
Согласно пункту 2.7.3 силу
, действующую на магнитный кантилевер, и её производную
, можно вычислить, проинтегрировав по всему объёму ферромагнитного материала силу, действующую на элементарный объём. Для данной геометрии магнитного зонда и при условии, что магнитное поле вдоль оси Y равно нулю, сила и производная вдоль оси Z, в соответствии с формулами (1, 2) пункта 2.7.3 определяются выражениями
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img13.gif)
(2)
где
и аналитические зависимости производных магнитного поля
определяются формулами (9,10) пункта 2.7.9.
Приложение 3. Вычисление силы и градиента силы действующей на конический зонд,
покрытый ферромагнитной плёнкой в магнитном поле проводника.
Найдём силу и производную силы, действующую на конический зонд покрытый ферромагнитной плёнкой в магнитном поле проводника. Зонд имеет радиус
, длину
, углол раствора
, покрыт ферромагнитной плёнкой толщиной
и намагниченностью
, направленной вдоль оси Z (рис. 3).
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img37.gif)
Рис. 3. Сечение конического зонда покрытого ферромагнитной плёнкой.
Вектор
имеет координаты
.
Согласно пункту 2.7.3 силу
, действующую на магнитный кантилевер, и её производную
, можно вычислить, проинтегрировав по всему объёму ферромагнитного материала силу, действующую на элементарный объём. Для простоты выполнения поставленной задачи, разобьём интегрирование по объёму ферромагнитного материала на три этапа.
Первый этап – вычисляется сила и её производная, действующая на сферическую часть зонда. Для сферической части магнитного зонда при условии, что магнитное поле вдоль оси Y равно нулю, сила и производная вдоль оси Z, в соответствии с формулами (1, 2) пункта 2.7.3 определяются выражениями
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img17.gif)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img18.gif)
(3)
где
и аналитические зависимости производных магнитного поля
определяются формулами (9,10) пункта 2.7.9.
Второй этап – вычисление силы и её производной, действующей на немагнитный внутренний конус, предполагая, что вектор намагниченности по всему объёму конуса не равен нулю, а совпадает с
. Вычисление силы и её производной также выполняется в соответствии с формулами (1, 2) пункта 2.7.3, которые дают результат
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img20.gif)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img21.gif)
(4)
где
и
.
Третий этап – вычисление силы и её производной по всему объёму внешнего конуса, за исключением сферической части зонда и предполагая, что вектор намагниченности во всем объёме конуса совпадает с
. В этом случае
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img24.gif)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img25.gif)
(5)
Соответственно, общая сила и её производная, действующая на зонд данного типа, определяются выражениями
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img26.gif)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img27.gif)
(6)
Приложение 4. Вычисление силы и градиента силы действующей на конический
ферромагнитный зонд в магнитном поле проводника.
Найдём силу и производную силы, действующую на конический ферромагнитный зонд в магнитном поле проводника. Зонд имеет радиус
, длину
, углол раствора
и намагниченность
, направленную под углом
к оси Z (рис. 4).
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img38.gif)
Рис. 4. Сечение конического ферромагнитного зонда.
Вектор
имеет координаты
.
Согласно пункту 2.7.3 силу
, действующую на магнитный кантилевер, и её производную
, можно вычислить, проинтегрировав по всему объёму ферромагнитного материала силу, действующую на элементарный объём. Для простоты выполнения поставленной задачи, разобьём интегрирование по объёму ферромагнитного материала на два этапа.
Первый этап – вычисляется сила и её производная, действующая на сферическую часть зонда. Для сферической части магнитного зонда при условии, что магнитное поле вдоль оси Y равно нулю, сила и производная вдоль оси Z, в соответствии с формулами (1, 2) пункта 2.7.3 определяются выражениями
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img18.gif)
(7)
где
,
и аналитические зависимости производных магнитного поля определяются формулами (9,10) пункта 2.7.9.
Второй этап – вычисление силы и её производной по всему объёму конуса, за исключением сферической части. Вычисление силы и её производной также выполняется в соответствии с формулами (1, 2) пункта 2.7.3, которые дают результат
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img29.gif)
(8)
где
.
Соответственно, общая сила и её производная, действующая на зонд данного типа, определяются выражениями
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img31.gif)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/mfm/magnet_field_of_rectangular_wire/appendices/img32.gif)
(9)