2.3.2 Колебания при наличии сил трения

В пункте 2.3.1 были рассмотрены собственные колебания кантилевера при отсутствии каких-либо внешних сил. В реальных системах всегда происходит диссипация энергии. Если потери энергии не будут компенсироваться за счет внешних устройств, то колебания с течением времени будут затухать и через какое-то время прекратятся вообще. Рассмотрим колебания пружинного маятника в вязкой среде.

Для тела, движущегося в однородной вязкой среде, сила трения зависит только от скорости. При малых скоростях можно считать, что сила трения

(1)

где – положительный постоянный коэффициент.

С учётом силы трения (1) уравнение свободных колебаний пружинного маятника (см. пункт 2.3.1) принимает вид [1-3]:

(2)

где – коэффициент затухания.

Решение уравнения (2) разбивается на три случая:

Если (случай большого сопротивления), тогда решение уравнения (2) запишется следующим образом

(3)

где независимые постоянные и определяются из начальных условий. Легко видеть, что в этом случае колебания происходить не будут. Такой режим движения называется апериодическим.
Если решение уравнения (2) запишется в виде

(4)

В данном случае характер колебаний при наличии силы трения описывается периодическим законом c экспоненциально убывающей от времени амплитудой.
В случае равенства говорят о критическом затухании. Решение уравнения (2) примет вид

(5)

где независимые постоянные и определяются, как и раньше, начальными условиями.

На рис. 1 приведена зависимость амплитуды колебаний от времени при различных соотношениях между параметрами и .

Рис. 1. Зависимость при различных соотношениях между собственной частотой
и коэффициентом затухания .

Очень часто "качество" колебательной системы характеризуют безразмерным параметром , называемым добротностью. Добротность пропорциональна отношению запасенной энергии к энергии теряемой за период [3]:

(6)

В случае слабого затухания () зависимость полной энергии от времени выражается в виде

(7)

где – начальное значение полной энергии осциллятора. Тогда в соответствие с формулами (6) и (7)

Таким образом, добротность характеризует скорости превращения энергии в колебательной системе. С другой стороны по порядку величины это есть не что иное, как число колебаний, совершаемых системой за характерное время их затухания . Следует отметить, что добротность не только характеризует затухание колебаний, но и является важной величиной, определяющей параметры вынужденных колебаний, осуществляемых под действием внешней периодической силы (см. пункт 2.3.3).

Выводы.

Характер собственных колебаний при наличии силы трения определяется соотношением между и . При – апериодический режим (3); – колебания описываются периодическим законом c экспоненциально убывающей от времени амплитудой (4); – режим критического затухания (5).
Добротность колебательной системы является очень важным параметром, характеризующим диссипационные процессы в системе.

Литература.

С.Э. Хайкин. Механика. – М.: ОГИЗ, 1947. – 574 с.
Д. В. Сивухин. Механика. – М.: Наука, 1989. – 576. с.
Карлов Н.В., Кириченко Н.А. Колебания, волны, структуры. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. – 496 с.