2.6.6 Эффект прилипания-скольжения в микромасштабе

Flash model

Introduction.

Микротрибология рассматривает трение тела с позиции сплошных сред. В отличие от нанотрибологии не учитывается атомарная структура вещества. Размер эффективной контактной площадки, характерной для микротрибологии, составляет 100 нм. При этом в молекулярном взаимодействии участвуют тысячи атомов и периодические особенности потенциала кристаллической решетки, играющие важную роль на наномасштабе, в микротрибологии несущественны, они становятся неразличимы.

Нашей задачей будет построение теоретической модели трения на микромасштабе и создание расчетной схемы. Во встроенной программе, реализующей данную одномерную численную модель, Вы сможете варьировать параметры задачи и следить, как при этом изменяется сила трения во время сканирования.

Причем мы не будем стремиться решить точную количественную задачу, предсказывающую результаты эксперимента, а построим принципиальную модель, объясняющую характер движения, в частности, так называемое явление "прилипания-скольжения".

Поэтому некоторые параметры будут привноситься в модель без их численных значений, а лишь из соображений адекватности получающих результатов.

В качестве модельных объектов возьмем образец с плоской поверхностью и зонд, находящийся с ним в контакте. Сканирование происходит в контактном режиме в направлении, перпендикулярном оси кантилевера.

Как моделируется кантилевер.

Рис. 1.  Модель кантилевера.

Кантилевер (вернее, его остриё) моделируется линейным двумерным осциллятором с затуханием (рис. 1). Так как мы строим одномерную модель, а сканирование происходит в поперечном направлении, нас будут интересовать только боковые отклонения зонда, которые преимущественно определяются торсионной деформацией (см. пункт 2.1.4). Кантилевер в этом случае описывается тремя параметрами: жесткостью торсионной деформации, коэффициентом затухания колебаний в данном направлении и эффективной массой осциллятора .

Торсионную жесткость кантилевера можно вычислить на основе его геометрических характеристик (см. пункт 2.1.4). Масса определяется из соотношения

(1)

где – частота первой моды торсионных колебаний.

Для коэффициента затухания можно принять значение, полученное из добротности тех же колебаний:

(2)

Физическая основа модели.

Кантилевер при движении по поверхности образца испытывает адгезионное притяжение. Происхождение этого взаимодействия в модели не обсуждается, и его характер просто постулируется. Природа адгезии при этом может быть различной – от взаимной диффузии длинных органических молекул до образования капиллярных пленок. Сила адгезии может меняться от некоторого минимального значения до максимального . Также вводится время релаксации , в течении которого, если неподвижный зонд привели в контакт с поверхностью, сила притяжения нарастает от до [1]:

(3)

Другими словами, чем дольше в данном месте находится кантилевер, тем сильнее он "приклеивается". Именно благодаря постулированию такого вида силы трения возникает нетривиальный эффект прилипания-скольжения, который обсудим ниже.

Введем понятие "возраста контакта" – эффективного времени, в течении которого зонд находился в контакте в данной точке. Возраст контакта (по определению) задается интегралом

(4)

В этой формуле – это функция, описывающая положение (координату) зонда при сканировании в предыдущие моменты времени. Интегрирование производится от возникновения контакта до текущего момента. Эффективный радиус взаимодействия – это расстояние, на которое надо сместить закрепленный конец кантилевера, чтобы разорвать связь между зондом и точкой поверхности. Несмотря на то, что возраст контакта зависит от всей предыстории сканирования, из-за наличия экспоненты существенный вклад в интеграл дают лишь те моменты времени, когда зонд находился в -окрестности данной точки. Таким образом, время, когда кантилевер находился далеко вне рассматриваемой окрестности, "забывается".

Для неподвижного зонда возраст контакта, естественно, совпадает со временем, прошедшим с момента соприкосновения. Если зонд движется по образцу равномерно со скоростью , то возраст контакта во всех точках одинаков и равен, как следует ожидать,

(5)

Уравнения модели.

Движение зонда подчиняется второму закону Ньютона [1, 5]:

(6)

где зависит от возраста контакта (3):

(7)

Левая часть включает собственную силу упругости кантилевера, возникающую за счет отклонении зонда от недеформированного состояния во время сканирования, а также затухание. Внешняя сила – правая часть уравнения – есть микроскопическая сила трения, обсуждаемая выше.

Система уравнений (6) и (7) полностью описывает построенную модель. Для удобства построения численной схемы можно заменить интегральное уравнение (4) на эквивалентное дифференциальное:

(8)

Для численного решения система (6-7) сводится к системе трех дифференциальных уравнений, а далее используется явная схема.

Эффект прилипания-скольжения.

В построенной модели при некоторых параметрах может проявляться эффект прилипания-скольжения – пилообразного изменения силы трения со временем. В системе уравнений (6-7) возникает неустойчивость решения по отношению к малым возмущениям. Характерный профиль силы трения при неустойчивом движении приведён на рис. 2 [1-5]. Он соответствуют прилипанию-скольжению: зонд задерживается в определённых точках, сила трения начинает возрастать, пока не произойдёт отрыв, и сила трения скачком упадёт до некоторого минимального значения.

Рис. 2.  Зависимость силы трения от времени.

Спектральный анализ линейных устойчивостей нелинейной системы уравнений, описывающей модель, позволяет определить критическое соотношение параметров задачи, при которых наступает переход от стабильного движения к неравномерному прилипанию-скольжению:

(9)

Важно то, что характер движения, устойчивый или неустойчивый, зависит от скорости сканирования. Существует некоторая критическая скорость , ниже которой равномерное скольжение переходит в прилипание-скольжение. В плоскости параметров при фиксированных остальных параметрах кривая , изображенная красной линией, разграничивает области стабильного и нестабильного движения.

Рис. 3.  Области стабильного движения и прилипания-скольжения.

График позволяет сделать вывод, что для любой жесткости существует некоторое значение скорости , выше которой прилипания-скольжения не наблюдается. Причём существует наибольшее значение , при котором (если взять предельно "мягкий" кантилевер ) возможен эффект прилипания-скольжения.

Однако в выражение (4) входят и другие параметры модели. Важно обсудить, как они влияют на возникновение неустойчивости. При изменении времени релаксации , радиуса взаимодействия , вариации силы , критическая кривая на рис. 3 будет смещаться. Можно показать, что при выполнении неравенства

(10)

область нестабильного движения на графике вообще исчезнет. Это означает, что при любой скорости сканирования скольжение будет равномерным. Поэтому для получения эффекта прилипания-скольжения мало подобрать скорость, необходимо, чтобы время релаксации и вариация силы были достаточно велики, а и наоборот малы.

Особенности численной реализации модели.

Проделав несложный анализ, можно убедиться, что уравнение (2) имеет недостаток. Если привести в контакт с образцом покоящийся зонд, то само собой за счет силы трения возникнет движение, что физически ошибочно. Подобные неприятности возникают при покое или очень низких скоростях движения зонда, поэтому в численную модель заложен "стабилизатор", направление силы трения выбирается исходя из следующих критериев:

(11)

Другая особенность состоит в том, что решение имеет как участки стабильного хода решения, так и скачки, которые для корректного расчета требуют весьма малый шаг интегрирования по времени. Для оптимизации вычислительных затрат был реализован алгоритм с адаптивным шагом. В случае сильного изменения решения, шаг интегрирования разностных уравнений уменьшается вдвое, в противоположном случае – возрастает.

Выбор параметров задачи.

Получение параметров кантилевера было обсуждено выше. Выбор остальных параметров, , , , , делается эмпирически, так, чтобы результаты моделирования были наиболее адекватны эксперименту. Нашей целью не является решение точной количественной задачи, позволяющей предсказывать результаты эксперимента, а построение принципиальной модели, объясняющей явление прилипания-скольжения.

Значение эффективного радиуса прилипания (адгезии) для широкого спектра материалов следует принимать равным ~ 0.2 нм, а время релаксации ~ 5 мс. В свою очередь, минимальная сила и вариация силы задаются, исходя из наблюдаемого коэффициента трения материалов, а также проявления эффекта прилипания-скольжения.

Во встроенной программе (см. Flash модель) по умолчанию задаются наиболее характерные значения перечисленных параметров, которые позволяют увидеть главные особенности модели микротрения:

скорость
область сканирования
частота первой торсионной моды (кантилевер типа CSC12(B))
эффективная масса
добротность
затухание
минимальное значение силы
вариация силы трения
время релаксации
радиус взаимодействия

= 5 мкм/с
= 500 нм
= 351.71 кГц
= 6.72 * 10-12 кг
= 10
= 4.91 * 105 1/с
= 5 * 10-7 Н
= 10 * 10-7 Н
= 5 мс
= 0.2 нм.

Сравним результаты численного моделирования с экспериментальными данными. Параметры численного моделирования (рис. 4):

скорость
область сканирования
кантилевер
минимальное значение силы
вариация силы трения
время релаксации
радиус взаимодействия

= 110 мкм/с
= 11 мкм
типа CSC12(B)
= 20 мкН
= 50 мкН
= 5 мс
= 0.2 нм.

Рис. 4.  Результаты численного моделирования.

Параметры эксперимента (рис. 5):

скорость
область сканирования
кантилевер
образец
SetPoint = 0.36 нА (сила придавливания 2.1 нН)

= 110 мкм/с
= 11 мкм
типа CSC12(B)
гладкий кремний

Рис. 5а.  Экспериментальные результаты при направлении сканирования слева направо.

Рис. 5б.  Экспериментальные результаты при направлении сканирования справа налево.

Силу трения найдем по формуле (1) пункта 2.6.4: = 170 нН, = 500 нН.

Видно, что при смене направления сканирования изменяется знак сигнала LAT, это означает, что кантилевер закручивается в разные стороны при разных направлениях сканирования.

Периоды пиков залипания в результатах моделирования и в эксперименте совпадают и равны ~ 1 мкм. Однако следует отметить, что при этом сила отличается на два порядка величины.

Что позволяет встроенная программа.

Встроенная программа расчёта (см. Flash модель) позволяет задать параметры задачи и получить зависимость сигнала LAT от времени, который пропорционален силе трения, а также увидеть возраст контакта для каждого момента времени. Выбрать ту или иную зависимость для просмотра можно при помощи выпадающего меню в правом верхнем углу после окончания расчёта.

Вы можете изменять параметры (значение которых установлено по умолчанию):

• Параметры кантилевера. Можно выбрать один из стандартных кантилеверов или же выбрать "Свой" и вручную вписать его геометрические характеристики, при этом его торсионная жесткость , частота первой торсионной моды и эффективная масса вычислятся автоматически.
• Затухание
• Минимальную силу трения
• Вариацию силы трения
• Время релаксации
• Радиус взаимодействия
• Скорость сканирования
• Длину скана

Рассмотрим результаты.

Рассмотрим несколько примеров. Воспользуемся установленными по умолчанию значениями параметров и будем менять только скорость сканирования и время релаксации.

Случай 1.

Параметры: = 5 мс; = 5 мкм/с; = 500 нм.

Это типичный случай прилипания-скольжения. Точка параметров находится в области неустойчивости графика рис. 3.

Сила (вернее сигнал LAT, описывающий упругое отклонение зонда под действием трения) имеет пилообразный профиль. Возраст контакта также изменяется неравномерно, что говорит о том, что зонд движется рывками, задерживаясь в точках прилипания.

Случай 2.

Параметры: = 5 мкс; = 5 мкм/с; = 100 нм.

Стартовав, зонд движется равномерно, прилипания-скольжения нет. При столь малом времени релаксации выполняется условие (10) отсутствия области неустойчивости на графике вида рис. 3. Фактически это означает, что при равномерном движении зонда во всех точках успевает произойти релаксация, т.к. возраст контакта ( = 40 мкс) много больше . Кантилевер при этом испытывает максимальную силу трения . Если взглянуть на график возраста контакта, то видно, что после задержки в начальной точке, пока кантилевер переходил в деформированное состояние, возраст контакта становится постоянным и равным .

Случай 3.

Параметры: = 20 мс; = 5 мкм/с; = 100 нм.

После того, как закончились установочные процессы, в ходе которых зонд рывками "отлеплялся" от начальной точки, где успел основательно "приклеиться" к поверхности, зонд движется равномерно. Из-за изменения критическая кривая графика рис. 3 опустилась вниз, и точка параметров оказалась в области устойчивости. Уменьшив скорость, например, до = 1 мкм/сек, можно снова наблюдать эффект прилипания-скольжения. Вместо уменьшения скорости можно выбрать более длинный кантилевер, например CSC12(D), имеющий из-за этого меньшую жесткость. Это опять-таки обеспечит попадание в область параметров, при которых наблюдается неустойчивое движение.

Случай 4.

Параметры: = 20 мс; = 25 мкм/с; = 100 нм.

Скорость сканирования высока настолько, что возраст контакта оказывается равным всего = 8 мкс, поэтому ни о какой релаксации, на которую требуется 20 мс, речи не идет. Сила трения равна своему минимальному значению .

Литература.

1. Persson B.N.J., in: Micro/Nanotribology and its Applications, ed. B. Bhushan (Kluwer, Dordrecht, 1997).
2. Meurk A., Tribology Letters 8 (2000) 161-169.
3. Scherge Matthias. Biological micro-and nanotribology: Nature's solutions / Scherge Matthias, Gorb Stanislav N. - Berlin etc.: Springer, 2001. - XIII, 304.
4. Handbook of micro/nanotribology/ Ed. by Bhushan Bharat . - 2d ed. - Boca Raton etc.: CRC press, 1999. - 859.
5. Batista A.A., Carlson J.M., Physical Review E 57 (1998) 4986-4996.