2.3.4 Малые колебания кантилевера в силовом поле

Рассмотрим случай, когда кроме вынуждающей силы (см. (1) пункта 2.3.3), на осциллятор ещё действует внешняя сила . Уравнение движения в этом случае запишется

Так как зависит только от пространственных координат, то качественный характер колебаний останется таким же, как и в (6) пункта 2.3.3. Действие силы приведёт к изменению положения равновесия осциллятора, относительно которого будут совершаться колебания. В случае малых колебаний, можно разложить в ряд Тейлора в точке , отвечающей положению равновесия

где выражается через и следующим образом

а величину можно определить исходя из условия:

Выполняя в уравнении (1) замену на , в соответствии с (3) и учитывая (4), получим

где , , , – коэффициент затухания определённый в пункте 2.3.2.

Как видно, уравнение (5) полностью идентично выражению (5) пункта 2.3.3. Переход из одного уравнения к другому обуславливается введением другого коэффициента жёсткости пружины и новым положением равновесия . Следует отметить, что членами второго порядка и выше в (2) можно пренебречь, только если выполняется условие

где – амплитуда колебаний на частоте , определённая ниже формулой (7). Кроме того, могут возникнуть такие ситуации, когда В этом случае необходимо учитывать в (2) члены более высшего порядка.

По аналогии с формулами (7, 8) пункта 2.3.3, с учётом формулы (8) пункта 2.3.2, амплитуда колебаний , сдвиг фазы в случае наличия градиента внешних сил можно записать в виде

где – амплитуда колебаний на резонансной частоте .

Таким образом, наличие градиента силы приводит к дополнительному сдвигу амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной характеристики (ФЧХ) колебательной системы. На рисунке 1 представлены АЧХ и ФЧХ при различных значениях величины .

Резонансная частота в присутствии внешней силы по аналогии с формулой (10) пункта 2.3.3, может быть записана в виде

Следовательно, дополнительный сдвиг АЧХ равен

Если величина , тогда выражение под корнем формулы (10) можно разложить в ряд Тейлора и соответственно

Из выражения (8) следует, что наличие градиента силы приводит к сдвигу ФЧХ, так что её точка перегиба, отвечающая значению фазы равным , находится на частоте

и

При условии формула (13) совпадает с формулой (11).

Определим сдвиг фазы колебаний при наличии градиента силы. Пусть осциллятор колеблется под действием вынуждающей силы на частоте , тогда сдвиг фазы его колебаний составляет . В случае наличия градиента силы сдвиг фазы согласно формуле (8) станет равным

Если выражение (14) можно разложить в ряд Тейлора следующим образом

Следовательно, дополнительный сдвиг фазы при наличии градиента силы будет равен (рис. 2)

Вычислим изменение амплитуды колебаний при наличии градиента силы (рис. 3).

Максимум изменения величины в случае изменения резонансной частоты (9) достигается на определённых частотах колебаний вынуждающей силы . Этим частотам соответствует максимальный наклон касательной к АЧХ (линейная область АЧХ).

Изменение амплитуды колебаний (7) на частоте (рис. 3) в случае наличия градиент силы в соответствии с формулами (7) и (11) равно

Рассмотренный тип колебаний широко используется в АСМ. В частности, для определения силового взаимодействия колеблющегося кантилевера с образцом можно исследовать изменение резонансной частоты (11), амплитуды (18) и фазы колебаний (16), а затем по полученным данным восстановить значение величины силы , к примеру, см. пункт 2.7.1).

---

Выводы.

• Действие внешней силы , при условии (6) приводит только к изменению эффективной жёсткости осциллятора (резонансной частоты колебаний) и положения равновесия, относительно которого происходят колебания. Законы, описывающие колебания системы, остаются такими же, как и в отсутствии внешней силы.
• Изменения резонансной частоты, фазы и амплитуды колебаний пропорционально градиенту внешней силы и определяются соответственно формулами (11), (16), (18).