2.3.4 Малые колебания кантилевера в силовом поле
Рассмотрим случай, когда кроме вынуждающей силы (см. (1) пункта 2.3.3), на осциллятор ещё действует внешняя сила
. Уравнение движения в этом случае запишется
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img02.gif)
(1)
Так как
зависит только от пространственных координат, то качественный характер колебаний останется таким же, как и в (6) пункта 2.3.3. Действие силы
приведёт к изменению положения равновесия осциллятора, относительно которого будут совершаться колебания. В случае малых колебаний,
можно разложить в ряд Тейлора в точке
, отвечающей положению равновесия
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img04.gif)
(2)
где
выражается через
и
следующим образом
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img07.gif)
(3)
а величину
можно определить исходя из условия:
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img08.gif)
(4)
Выполняя в уравнении (1) замену
на
, в соответствии с (3) и учитывая (4), получим
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img09.gif)
(5)
где
,
,
,
– коэффициент затухания определённый в пункте 2.3.2.
Как видно, уравнение (5) полностью идентично выражению (5) пункта 2.3.3. Переход из одного уравнения к другому обуславливается введением другого коэффициента жёсткости пружины
и новым положением равновесия
. Следует отметить, что членами второго порядка и выше в (2) можно пренебречь, только если выполняется условие
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img15.gif)
(6)
где
– амплитуда колебаний на частоте
, определённая ниже формулой (7). Кроме того, могут возникнуть такие ситуации, когда
В этом случае необходимо учитывать в (2) члены более высшего порядка.
По аналогии с формулами (7, 8) пункта 2.3.3, с учётом формулы (8) пункта 2.3.2, амплитуда колебаний
, сдвиг фазы
в случае наличия градиента внешних сил можно записать в виде
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img20.gif)
(7)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img21.gif)
(8)
где
– амплитуда колебаний на резонансной частоте
.
Таким образом, наличие градиента силы приводит к дополнительному сдвигу амплитудно-частотной (АЧХ) и фазо-частотной характеристики (ФЧХ) колебательной системы. На рисунке 1 представлены АЧХ и ФЧХ при различных значениях величины
.
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img25.gif)
a)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img26.gif)
б)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img24.gif)
Резонансная частота
в присутствии внешней силы по аналогии с формулой (10) пункта 2.3.3, может быть записана в виде
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img27.gif)
(9)
Следовательно, дополнительный сдвиг АЧХ равен
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img28.gif)
(10)
Если величина
, тогда выражение под корнем формулы (10) можно разложить в ряд Тейлора и соответственно
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img30.gif)
(11)
Из выражения (8) следует, что наличие градиента силы приводит к сдвигу ФЧХ, так что её точка перегиба, отвечающая значению фазы равным
, находится на частоте
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img32.gif)
(12)
и
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img33.gif)
(13)
При условии
формула (13) совпадает с формулой (11).
Определим сдвиг фазы колебаний
при наличии градиента силы. Пусть осциллятор колеблется под действием вынуждающей силы на частоте
, тогда сдвиг фазы его колебаний составляет
. В случае наличия градиента силы сдвиг фазы согласно формуле (8) станет равным
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img37.gif)
(14)
Если
выражение (14) можно разложить в ряд Тейлора следующим образом
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img39.gif)
(15)
Следовательно, дополнительный сдвиг фазы при наличии градиента силы будет равен (рис. 2)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img40.gif)
(16)
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img41.gif)
Рис. 2. Изменение фазы колебаний при изменении резонансной частоты колебаний.
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img42.gif)
Рис. 3. Изменение амплитуды колебаний при изменении резонансной частоты колебаний.
Вычислим изменение амплитуды колебаний
при наличии градиента силы (рис. 3).
Максимум изменения величины
в случае изменения резонансной частоты (9) достигается на определённых частотах колебаний вынуждающей силы
. Этим частотам соответствует максимальный наклон касательной к АЧХ (линейная область АЧХ).
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img45.gif)
(17)
Изменение амплитуды колебаний (7) на частоте
(рис. 3) в случае наличия градиент силы в соответствии с формулами (7) и (11) равно
![](/data/media/images/spm_basics/scanning_force_microscopy_sfm/linear_oscillations/small_oscillations/img47.gif)
(18)
Рассмотренный тип колебаний широко используется в АСМ. В частности, для определения силового взаимодействия колеблющегося кантилевера с образцом можно исследовать изменение резонансной частоты (11), амплитуды (18) и фазы колебаний (16), а затем по полученным данным восстановить значение величины силы
, к примеру, см. пункт 2.7.1).
Выводы.
- Действие внешней силы
, при условии (6) приводит только к изменению эффективной жёсткости осциллятора (резонансной частоты колебаний) и положения равновесия, относительно которого происходят колебания. Законы, описывающие колебания системы, остаются такими же, как и в отсутствии внешней силы.
- Изменения резонансной частоты, фазы и амплитуды колебаний пропорционально градиенту внешней силы и определяются соответственно формулами (11), (16), (18).