2.6.5 Эффект прилипания-скольжения в наномасштабе

Введение.

Задача нанотрибологии заключается в объяснении и моделировании трения на атомарном масштабе. В отличие от микротрибологии, применяющей представления и терминологию теории сплошных сред, в данном случае используются более фундаментальные понятия, основанные на взаимодействиях отдельных атомов.

Наиболее доступным экспериментальным инструментом для исследования нанотрибологии является атомно-силовой микроскоп. Тонкое остриё зонда позволяет "почувствовать" трение на чрезвычайно малой контактной площадке, состоящей всего из нескольких атомов.

Нашей задачей будет построение модели трения зонда и образца в наномасштабе. Целью является нахождение движения кантилевера и силы трения, действующей на него со стороны поверхности при сканировании. В численном расчёте, который реализован во встроенной программе, Вы можете варьировать параметры по своему усмотрению.

Как моделируется кантилевер.

Кантилевер (вернее, его остриё) моделируется линейным двумерным осциллятором с затуханием, который может колебаться только в горизонтальной плоскости Oxy. Осциллятор описывается шестью характеристиками: , – эффективные массы при колебаниях в соответствующих направлениях, , – жесткости, , – коэффициенты затухания колебаний по осям x и y.

Перемещение зонда в вертикальном направлении нас в рамках модели интересовать не будет, поэтому z-компоненты характеристик кантилевера в вычислениях не участвуют.

Как моделируется поверхность образца.

Распределение ван-дер-ваальсовского потенциала поверхности кристаллической решетки образца (межатомное расстояние ) на некоторой высоте над ней носит периодический характер. Потенциал отдельной цепочки может быть найден точно (см. приложение III). На достаточно большом расстоянии от поверхности эту функцию можно приблизить синусоидальной с периодом решетки.

На основе вычисленного ван-дер-ваальсовского потенциала, который определяет энергию взаимодействия отдельного ("точечного") атома с образцом, можно найти потенциал взаимодействия всего зонда с поверхностью, просуммировав полученную в приложении функцию по всем атомам острия кантилевера. Именно этим двумерным распределением потенциала зонда, находящегося над данной точкой поверхности, описывается в нашей модели образец. Этот потенциал также имеет периодическую структуру, повторяющую кристаллическую решетку образца. Еще раз отметим, что данное распределение не стоит путать с привычным потенциалом атомарной решетки, который описывает энергию взаимодействия атомов образца с точечной частицей, а не с протяженным объектом. В нашем случае это потенциал взаимодействия образца со всем зондом.

Вид функции зависит от радиуса закругления острия. Несложно догадаться, что чем он больше, тем более сглаженным будет распределение потенциала взаимодействия. Для совсем тупых зондов (порядка 100 нм) пропадет даже периодическая структура функции. В этом случае наша модель становится неприменима, и необходим переход к микротрибологии.

Как можно понять из вычислений в приложении III (где ван-дер-ваальсовский потенциал отдельного атома зависел от его высоты над поверхностью ) потенциал зонда зависит не только от горизонтальных координат, но и от вертикальной , т.е. от высоты зонда над поверхностью. Но сканирование образца происходит при постоянной высоте над поверхностью. Поэтому влияние вертикальной координаты учитывается с помощью амплитуды потенциала . Не вдаваясь в детали, для высокоориентированного пиролитического графита (ВОПГ) и молибденита будем моделировать распределение потенциала функциями [1, 2]:

(1)

где – период решетки. Период решетки ВОПГ равен 2.46 нм, а молибденита – 3.16 нм.

Одномерная модель.

Для качественного понимания модели нанотрения рассмотрим сначала одномерную модель – ограничим колебания зонда одним из горизонтальных направлений – осью Ox. Потенциал (1) при этим можно упростить (удалив непринципиальные постоянные) до

(2)

где – период решетки.

Кантилевер массы на упругом подвесе жесткости движется в потенциале ; при этом каретка смещается с постоянной скоростью . Модель описывается уравнением [1]:

(3)

Постараемся представить себе характер движения. На рис. 1 изображен график . При движении в потенциальную горку зонд испытывает отрицательную силу со стороны образца, и пружина растягивается. Достигнув "вершины", зонд соскакивает и начинает колебательные движения, которые постепенно затухают.

Рис. 1. Движение зонда в одномерной модели, соответствующее эффекту прилипания-скольжения.

Если усреднить колебания (как показано на рисунке 1 пунктирной линией), то можно видеть, что движение носит скачкообразный характер, это так называемое "прилипание-скольжение". Сила трения при этом имеет пилообразный профиль.

Двухмерная модель.

Рис. 2. Двухмерная модель. Зонд может отклоняться в сторону от направления движения.
Серым показано, каким было бы положение системы в отсутствии потенциала.
Действительное положение зонда изображено красным.

Несложно получить двумерное обобщение приведенной модели (рис. 2). Сразу выпишем формулы, если осуществляется сканирование строки вдоль направления Ox со скоростью [3]:

(4)

Движение в случае двух измерений имеет некоторые особенности. Зонд движется не вдоль направления сканирования, а еще и ходит из стороны в сторону (в направлении Oy). Это связано с тем, что остриё зонда "съезжает" с потенциальных горбов вбок, стремясь к минимуму энергии.

Рис. 3. При сканировании зонд не только уходит в сторону, огибая препятствия, но "прилипает" при подъеме на максимумы потенциала.
Пунктиром изображено направление сканирования, красные точки показывают положение зонда через равные промежутки времени.

На Рис. 3 точками показана возможная траектория движения зонда. Точки поставлены через одинаковый промежуток времени, и видно, что в потенциальных минимумах, когда необходимо заехать на "горку", зонд задерживается, а "спуски" проскакивает быстро.

Упрощение расчётов.

Непосредственное использование формул (4) в расчётах наталкивает на необходимость достаточно больших вычислительных ресурсов. Расчёт быстрых и сильнозатухающих (затухание порядка 103) колебаний кантилевера требует достаточно малого шага интегрирования по времени, поэтому вычисления затягиваются.

Но, в то же время, нас не интересуют детали колебательного движения, достаточно следить за положением зонда, усредненным по нескольким периодам. При этом отпадает ресурсоемкая необходимость отслеживать колебания до их полного затухания. Если пренебречь второй производной в уравнениях (4), то можно заметно ускорить вычисления, сохранив все особенности эффекта прилипания-скольжения.

(5)

Что позволяет встроенная программа.

Встроенная программа расчёта (см. Flash модель) использует упрощенную систему уравнений (5) без второй производной (или, что то же самое, с нулевой массой). Вы можете выбрать:

параметры модели (кнопка "Посмотреть задачу")
- один из двух материалов образца (высокоориентированный пирографит или молибденит )
- направление быстрого сканирования вдоль или поперек оси кантилевера
- скорость сканирования ()
- ориентацию кантилевера относительно образца ("угол сканирования")
- схема расчета (но не сканирования!): только "туда" или "туда и обратно". (Во втором случае время счета удваивается, однако улучшается качество изображения на краях за счет отсутствия произвола в выборе граничных условий в каждой строке скана)
параметры кантилевера
- можно выбрать один из стандартных кантилеверов или же выбрать "Свой" и вручную вписать его геометрические характеристики
- жесткость кантилевера по осям (, ) вычислится автоматически по формулам (7) из пункта 2.1.4 и (10) из пункта 2.1.3.
параметры расчета
- размеры исследуемой области
- количество расчётных точек по осям

Для корректного учета эффекта прилипания-скольжения (и, соответственно, правильного расчета атомарной структуры), необходимо, чтобы на один период решетки приходилось не менее 30 точек расчетной сетки. Причем желательно, чтобы количество точек на периоде было целым, это позволит добиться более четкого изображения. Рассчитать (и задать) данное число можно, зная период решетки , размеры области скана (вдоль оси быстрого сканирования) , число точек в строке . При этом на одном периоде уложится точек.

Стоит отметить, как учитываются параметры, не входящие непосредственно в формулы. Выбор ориентации образца означает поворот функции (2) в плоскости Oxy, что достигается путем замены переменных при помощи матрицы поворота:

(6)

где – старые координаты, – новые координаты, – угол поворота.

Рассмотрим результаты.

Встроенная программа (см. Flash модель) позволяет градациями серого изобразить отклонения зонда от своего недеформированного состояния по осям Ox и Oy – сигналы LAT и DFL соответственно. Кроме этого можно получить общее отклонение зонда ALL, которое определяется как суперпозиция отклонений по осям Ox и Oy. Какое из трех распределений отображать, можно выбрать уже после окончания расчета в правом верхнем углу окна.

Полученная картинка имеет периодический характер, соответствующий периоду кристаллической решетки, однако максимумы силы трения оказываются сдвинуты относительно пиков распределения потенциала.

Изображение легко позволяет на глаз определить направление сканирования. Резкие переходы от светлого к темному соответствуют соскакиванию зонда после прилипания. При существенном увеличении скорости сканирования контраст переходов снижается.

Как добиться четкой атомарной структуры?

То, насколько отчетливой окажется структура атомарной решетки, существенно зависит от выбора направления сканирования. На рис. 4 схематично показана траектория зонда при сканировании вдоль цепочки атомов (а) и поперек цепочек (б). В узлах решетки, как ясно из модели, происходит залипание, причем зонд во время движения "скатывается" в эти потенциальные минимумы (см. выше "Двухмерная модель").

Рис. 4. Траектория зонда при сканировании вдоль цепочки атомов (а) и поперек цепочек (б).

В случае (а) отклонение поперек линии сканирования в направлении Oy отсутствует, что приводит к отсутствию атомарного разрешения в соответствующем сигнале (LAT или DFL, в зависимости от ориентации кантилевера). Информация о структуре будет содержаться только в сигнале отклонения зонда по Ox, который будет иметь пилообразный профиль прилипания-скольжения.

С другой стороны, в строке (б) атомарное разрешение получается на основе сигнала отклонения как по Oy, так и по Ox. Если первый из сигналов носит пилообразный характер, то второй напоминает прямоугольные волны с периодом , т.к. зонд залипает то справа, то слева от линии сканирования.

Рис. 5. (a) – ориентация кантилевера и оси быстрого сканирования относительно решетки; (б) – распределение сигнала DFL;
(в) – распределение сигнала LAT.

Рис. 6. (a) – ориентация кантилевера и оси быстрого сканирования относительно решетки; (б) – распределение сигнала DFL;
(в) – распределение сигнала LAT.

Стоит обратить внимание, что наличие или отсутствие хорошей атомарной структуры при том или другом направлении сканирования является не издержками численной модели, а физическим эффектом, проявляющемся также и в эксперименте [4]. На рис. 5 и 6 приведены результаты расчетов для двух направлений движения зонда относительно решетки.

Литература.

Дедков Г.В., УФН 170 (2000) 585-618.
Holscher H., Schwarz U.D., Wiesendanger R., in: Micro/Nanotribology and its Applications, ed. B. Bhushan (Kluwer, Dordrecht, 1997).
Holscher H., Physical Review B 57 (1998) 2477-2481.
Morita S., Fujisawa S., Sugawara Y., Surf. Sci. Rep. 23 (1996) 1-41.